절두체(Frustum)

• 카메라에 보이는 공간을 나타낸다.

  • Near, Far, Aspect, FOV 로 구성할 수 있다.
    • Near: 카메라 기준 가장 가까운 z축
    • Far: 카메라 기준 가장 먼 z축
    • Aspect: 종횡비 (width / height)
    • FOV: 시야각

• 절두체 형태로 생긴 이유는 원근감 구현을 위해서 이다.

  • 평행선들이 하나의 소실점으로 수렴되는 형태로 만들어야 깊이가 증가할수록 더 작아지는 현상을 만들 수 있기 때문.

  

  

원근 투영 변환 행렬(Perspective Projection Transform Matrix)

• 3차원 공간의 정점들을 2차원 공간으로 사상하기 위한 변환 행렬.

  • 즉, Z를 시야로부터의 거리로 삼아 정점의 X,Y 좌표를 거리에 비례하여 수정하는 작업

    

• 투영 변환 행렬 성분별 설명.

  $\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} W & 0 & 0 & 0 \\ 0 & H & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & 1 \\ 0 & 0 & B & 0 \end{bmatrix}=[Wx, Hy, Az+B, z]$

  • W: 수평 시야각을 통해서 x축 변형.

  • H: 수직 시야각을 통해서 y축 변형.

    FOV(Field of View)

    • 여기서 투영창의 크기를 고정시켜서 종횡비 의존성을 제거해준다.

      정규화된 장치 좌표(NDC, Normalized Device Coordinates)

      • 이제 쉐이더등의 작업에서는 NDC공간을 가정하고 작업할 수 있다.

  • 상수 A,B 는 z좌표를 정규화된 구간[0, 1]로 변환하는데 사용된다.

    깊이 값 정규화

  • 마지막으로, 1은 z값을 보존하기 위해서 쓰인다. (z*1=z)

    • 앞으로 나올 행렬에서 각 성분을 z값으로 나누어주면 NDC 공간으로 변환된다.

• Standard Projection Matrix

  $P=\begin{bmatrix} {1 \over r\space tan(\alpha /2)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {1 \over tan(\alpha /2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {f \over f-n} & 1 \\ 0 & 0 & {-nf \over f-n} & 0 \end{bmatrix}$