• 정의는 다음과 같다.
  • 선형변환은 선형 결합을 보존하는, 두 벡터 공간 사이의 함수이다.
• 참고: https://namu.wiki/w/선형 변환

선형결합을 보존한다의 의미

• 임의의 함수 T에 대해 아래와 같은 성질들이 성립하는것을 뜻한다.
  • $T(u+v)=T(u)+T(v)$
  • $T(ku)=kT(u)$
    • u, v = 3차원 벡터
    • k = 스칼라
  • 이런 성질들이 보존된다는 뜻인데, 이 말인 즉슨 덧셈과 곱셈을 사용할 수 있다는 뜻.
    • 이걸 덧셈과 곱셈에 닫혀있다고 표현한다.

두 벡터 공간 사이의 함수

• 어떤 한 점을 한 벡터공간에서 다른 벡터공간으로 이동시키는 이동 규칙을 선형변환 이라고 한다.
  • 즉, 어떤 한 점을 변환 시킬 때 선형변환을 통해서 변환시킨다.

정리

• 즉, 선형변환이란 덧셈과 곱셈에 닫혀있으면서 어떤 한 점을 한 벡터공간에서 다른 벡터공간으로 이동시키는 변환이라고 할 수 있다.

표준기저 벡터(standard basis vector)

• $u=(x, y, z)=xi+yj+zk=x(1, 0, 0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)$
  • 기저벡터는 현재 좌표계의 축들과 같은 방향인 단위벡터이다. 이들을 $\Reals ^3$ 에 대한 표준기저 벡터라고 부른다.
  • 위치를 나타내는 점들에 기저 벡터들이 곱해져 있다고 볼 수 있다.
  • 즉, 기저벡터를 통해서 점들의 좌표계를 변환할 수 있음을 알 수 있다.
    • 기저 벡터에 방향만 바꿔서 곱해주면 되기 때문에.

선형변환을 행렬로 확장

• 함수T를 하나의 선형변환이라고 하자. 아래식이 성립한다.

  $T(xi+yj+zk)=T(xi+(yj+zk))$

  $=xT(i)+T(yj+zk)$

  $=xT(i)+yT(j)+zT(k)$

  • 선형변환식이 위의 식과 같이 구성됨을 알 수 있다. 위의식이 선형결합임을 알 수 있는데, 곱셈, 덧셈에 닫혀있으므로 행렬로 표현할 수 있다.
    • 선형결합(일차결합): 어떤 벡터를 다른 벡터들의 스칼라 곱셈과 벡터 간 덧셈으로 나타낸것
      • 연립일차방정식을 통해 일차결합 여부를 알 수 있다.
  • 선형변환 T의 행렬 표현(matrix representation)
    • $t(i)=(A_{11}, A_{12}, A_{13})$
    • $t(j)=(A_{21}, A_{22}, A_{23})$
    • $t(k)=(A_{31}, A_{32}, A_{33})$
  • 행렬로 표현할 수 있게 되므로써 비례와 행렬성분을 하나의 행렬에 담고 선형변환에 활용할 수 있다.

비례행렬(scaling matrix)

회전행렬(rotation matrix)