• 벡터는 이동에 대해 불변이여야 하고, 이동은 오직 점(위치벡터)에만 적용되어야 하는 성질이 있는데, 동차좌표를 이용해서 점과 벡터를 동일한 방식으로 사용할 수 있다.

  동차좌표(homogeneous coordinate)

• 선형변환에 이동 벡터 b를 더한 것.

  • $a(u)=t(u)+b$

  • 즉, 3차원 선형변환행렬 이라고 했을때, 거기에 이동변환을 위한 차원 하나를 추가한것.

    $a(u)=uA+b=[x,y,z]\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{bmatrix}+[b_x,b_y,b_z]=[x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime}]$

    • $w=1$인 동차좌표를 도입하면 아래와같이 간결하게 표기할 수 있다.

    $[x,y,z,1]\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} & 0 \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & 0 \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} & 0 \\ b_x & b_y & b_z & 1\end{bmatrix}$

이동행렬(translation matrix)

• 주어진 입력을 그대로 돌려주는 아래와 같은 선형변환을 항등변환(identity transformation) 이라고 한다.

  • $I(u)=u$ (항등변환, identity transformation)
    • 이 선형변환 행렬 표현은 단위행렬이다.

• 따라서 이동 변환은 선형변환 부분이 하나의 단위행렬인 아핀변환이라고 정의할 수 있다.

  $T(u)=uI+b=u+b$

  • 선형변환이 $I$ 이기 때문에 $u+b$ 와 같다.
  • 즉, 물체의 위치를 벡터 b만큼 이동시키는 것.
  • 위의 식을 아래와 같은 행렬로 나타낼 수 있다.

  $T=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ b_x & b_y & b_z & 1 \end{bmatrix}$

  • 역행렬 또한 단순하게 아래와 같이 벡터 b를 빼는것으로 나타낼 수 있다.

  $T^-1=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -b_x & -b_y & -bz & 1 \end{bmatrix}$