각 벡터의 성분들의 곱을 더한값이다.
- 결과가 스칼라 값이기 때문에 스칼라 곱(scalar product) 이라고도 부른다.
$$ u\cdot v=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z $$
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내적에 코사인 법칙을 적용하면 $0 \le \theta \le \pi$ 조건을 만족하는 각도가 된다.
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즉, 두 벡터의 내적이 두 벡터 사이의 각도의 코사인을 벡터 크기로 비례한 것임을 뜻한다.
$u \cdot v = ||u||\space||v||cos\theta$
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둘다 단위 벡터일 경우 길이 부분이 사라지므로 두 벡터 사이의 코사인 각도가 된다.
$u \cdot v = cos\theta$
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위와 같은 성질들을 이용해서 유용한 기하학적 특성을 이끌어낼 수 있다.
- 만일 $u \cdot v=0$이면 $u \space \bot \space v$ 이다 (즉, 두 벡터는 직교이다)
- 만일 $u \cdot v > 0$이면 두 벡터 사이의 각도 $\theta$는 90도보다 작다(예각)
- 만일 $u \cdot v < 0$이면 두 벡터 사이의 각도 $\theta$는 90도보다 크다(둔각)
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벡터와 단위벡터가 주어졌을때 내적을 이용해서 직교투영을 할 수 있다.
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$p=proj_n(v)=(v\cdot \frac{n}{||n||})\frac{n}{||n||}=\frac{(v\cdot n)}{||n||^2}n=(v\cdot \hat n)\hat n$
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공식만 보면 어떤 의미인지 알기 힘들 수 있으므로 아래 내용으로 보충하겠다.
- 아래 그림 처럼 벡터 v와 단위벡터n이 주어졌을때 이 둘을 내적하여 p벡터를 얻을 수 있다.
- v 와 n을 내적하면 p까지의 길이를 반환하는데, 이를 단위벡터인 n에 곱해주면 p벡터를 구할 수 있다.
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그람-슈미트 직교화(Gram-Schmidt Orthogonalization)를 이용해서 정규직교벡터 만들기
- 직교하는 벡터를 만드는 방법이며, 책 참고.