• 한 좌표계의 좌표를 다른 좌표계의 좌표로 변환하는 것.
• 실제 기하구조가 변형되는것이 아닌, 좌표 표현 방식이 변하게되는 것.
• 벡터와 점에대한 좌표계 변환은 서로 다르다.
  • 벡터의 경우 크기와 방향만 있으므로, 기저벡터 부분만 바꿔주면 된다.

벡터

• A좌표계에 상대적인 벡터 P를 B좌표계에 상대적이도록 변환할때 아래와 같다.

  $P_B=xu_B+yv_B+zw_B$

  • u, v, w: 각각 좌표계 B의 x 축과 y 축 z축 방향의 단위벡터(기저벡터)
  • 즉, A좌표계에 상대적인 벡터 P가 있을때 좌표계 B의 기저벡터를 알면 좌표계 B에 상대적인 벡터 P를 구할 수 있다.

점

• A좌표계에 상대적인 벡터 P를 B좌표계에 상대적이도록 변환할때 아래와 같다.

  $P_B=xu_B+yv_B+zw_B+Q_B$

  • 벡터와 식이 비슷한데, $Q_B$ 부분이 추가 되었다.

  • $(x', y',z',w)=xu_B+yv_B+zw_B+wQ_B$

    • w가 0이라면 벡터에 대한 좌표변환 공식.

    • w가 1이라면 점에 대한 좌표변환 공식.

    • 이를 행렬로 표현하면 다음과 같다.

      $[x,y,z,w]\begin{bmatrix} u_x & u_y & u_z & 0 \\ v_x & v_y & v_z & 0 \\ w_x & w_y & w_z & 0 \\ Q_x & Q_y & Q_z & 1 \end{bmatrix}$

  • $Q_B$: B좌표계의 원점.

동차좌표를 이용해서 하나의 공식으로 처리

겹합법칙

• 다중 좌표계 변환같은 경우 결합법칙을 통해서 성능을 향상시킬 수 있다.

• 예로 F, G, H 좌표계가 있고 A=F→G, B=G→H 변경 행렬이라고 해보자.

• 보통 각각의 좌표계 변환 행렬을 각각의 벡터에 곱해주겠지만, 좌표계 변환 행렬 A, B를 결합함으로서 연산을 줄일 수 있다.

  $P_F(AB)=P_H$

  • F 좌표계에 상대적인 벡터 P 에 A,B 변환행렬을 합성하여 한번에 연산.

역행렬을 통해서 반대의 변환도 가능하다.