시야 변환(View Transform)

• 가상의 카메라에 비치는 물체들을 2차원 화면에 표시하기 위해서는 물체들을 세계 공간(World Space)에서 시야 공간(View Space)으로 변환시켜야 한다.

• 변환 행렬을 만들기 위해서 가상의 카메라의 좌표계를 구해보자.

  • 먼저 다음과 같은 준비물이 필요하다.
    • Q: 카메라의 위치
    • T: 카메라가 바라보는 지점(대상점, target point)
    • j: 세계 공간에서 위쪽을 가리키는 상향 벡터(up vector)
  1. 카메라가 바라보는 지점의 방향 벡터(w)를 구한다. (forward vector)
     • $w={T-Q \over ||T-Q||}$
       • 벡터 빼기 연산에서 배웠듯이, 바라보는 대상 위치를 향하는 방향벡터를 구한뒤 노멀라이즈 해줘서 순수 방향벡터로 만들어준다.
  2. 카메라의 오른쪽을 가리키는 방향벡터(u)를 구한다. (right vector)
     • $u= {j \times w \over ||j \times w||}$
       • 세계 공간 Up Vector와 Forward Vector를 외적해서 수직하는 Right Vector를 얻는다.
  3. 카메라의 위쪽을 가리키는 방향벡터(v)를 구한다. (up vector)
     • $v=w \times u$
       • Forward Vector 와 Right Vector를 외적해서 수직하는 Up Vector를 얻는다.

• 시야 공간 → 세계 공간 변환 행렬

  $W= \begin{bmatrix} u_x & u_y & u_z & 0 \\ v_x & v_y & v_z & 0 \\ w_x & w_y & w_z & 0 \\ Q_x & Q_y & Q_z & 1 \end{bmatrix}$

• 세계 공간 → 시야 공간 변환 행렬

  • 기본적으로 시야 공간 → 세계 공간 변환 행렬의 역행렬을 사용하면 된다.
  • 하지만, 다음 특성으로 역행렬을 더 쉽게 구하는 방법이 있다.

    • 일반적으로 세계 좌표계와 시야 좌표계는 위치와 방향만 다르다. (크기는 같다)

      • 그러므로 $W=RT$ 라고 둘 수 있다. (회전 후 이동)

      • 세계 행렬을 이처럼 회전 행렬과 이동행렬로 분해하게 되면 아래와 같이 할 수 있다.

        $V=W^{-1}=(RT)^{-1}=T^{-1}R^{-1}=T^{-1}R^T$

        • 이동행렬만 역행렬을 구하고 정방 회전행렬은 전치행렬이 역행렬이므로 전치행렬로 변경

    • 결과적으로 이동 역행렬과 회전 전치행렬을 곱하면 다음과 같은 행렬이 나온다.

      $V=T^{-1}R^T$

      $V= \begin{bmatrix} u_x & v_x & w_x & 0 \\ u_y & v_y & w_y & 0 \\ u_z & v_z & w_z & 0 \\ -Q \cdot u & -Q \cdot v & -Q \cdot w & 1\end{bmatrix}$