• 비균등 비례변환(Non Uniform Scale Transform) 을 적용했을때 우리가 구한 법선은 더이상 수직이 아니게 된다.

  

  • 만약 균등 비례변환일때는 수직임은 변하지 않지만 크기가 변했을 수 있으므로 정규화가 필요하다.

변환된 정점에 법선이 수직이 되도록 변환행렬 만들기

• 법선 벡터를 만들때 사용했던, 접선 벡터(Tangent Vector)를 이용한다.

  • 접선 벡터는 법선 벡터와 항상 수직이기 때문에.

  • $u=v_1-v_0$

    

• 즉, 변환행렬 A가 주어졌을 때, 변환 이후에도 법선 벡터가 수직이 되도록 만들어 주는 변환행렬 B를 구해야 한다.

  • B는 n이 접선 벡터인 u와 수직이라는 사실과 A행렬을 이용해서 구할 수 있다.

    $u \cdot n = 0$

    • u와 n은 수직이다. (내적의 결과가 0이면 수직)

    $un^T=0$

    • n을 전치시켜서 내적을 행렬 곱셈 형태로 표현 (1x4)x(4x1)

    $u(AA^-1)n^T=0$

    • 항등식을 유지하며 A행렬을 포함시키기 위해 단위행렬로 만들어서 대입$I=AA^{-1}$

    $(uA)(A^{-1}n^T)=0$

    • 행렬 곱셈의 분배법칙을 적용.

    $(uA)((A^{-1}n^T)^T)^T=0$

    • 전치 항등식 적용. $(A^T)^T=A$ (전치에 전치를 하면 다시 A가 됨)

    $(uA)(n(A^{-1})^T)^T=0$

    • 전치 항등식 $(AB^T)^T=B^TA^T$ 적용. (n을 따로 빼내고 T 하나 제거)

    $uA \cdot n(A^{-1})^T=0$

    • 행렬 곱셈을 다시 내적 형태로 표현. (전치를 해서 행렬 곱셈으로 나타냈다면 다시 전치를 없애서 내적 형태로 표현)

    $uA \cdot nB=0$

    • 변환된 접선 벡터와 변환된 법선 벡터가 실제로 직교함을 알 수 있다.

    • 즉, uA와 수직이 되게 하는 변환 행렬은 A의 역행렬의 전치행렬이다.

      

• 여기서 A가 만약 직교행렬이라면 역전치를 따로 구할 필요없이 그대로 사용하면 된다.

  • 직교행렬: $A^T=A^{-1}$

코드

static XMMATRIX InverseTranspose(CXMMATRIX M) 
{ 
	XMMATRIX A = M; 
	A.r[3] = XMVectorSet(0.f, 0.f, 0.f, 1.f); // 이동 변환을 제외해준다.
	XMVECTOR det = XMMatrixDeterminant(A); 
	return XMMatrixTranspose(XMMatrixInverse(&det, A)); 
}